Метод коррелированных процессов

Метод коррелированных процессов представляет собой разновидность метода линейного объединения априорных и экспериментальных оце­нок [73]. Рассмотрим основные положения этого метода.

Обозначим через X искомый р-мерный вектор вероятностных ха­рактеристик системы, а через р-/л-мерный вектор вероятностных

характеристик ее модели: X = M[R]; р = M[S], где R, S есть р-, т — мерные векторы, компоненты которых представляют собой некото­рые функции от значений процессов в системе и ее модели.

Оценки X и р векторов X и р, найденные по независимым стати­стическим испытаниям, определяются соотношениями:

Значения R., S • получены при одних и тех же внешних воздей­ствиях. Точное значение р модели может быть найдено аналитичес­ки. Задача состоит в построении оптимальной оценки Л вектора X по значениям векторов X, р. Оценку Л будем искать в классе линейных оценок Л = АХ+Вр+Ср, где А, В, С — некоторые матрицы размера (ру. р), (рхт) и (рхт) соответственно.

Для /-го компонента вектора Л имеем:

Л(. = А-X+В, р+С^р,

где А,-, В,-, С, — матрицы-строки, образованные из соответствующих матриц.

Матрицы А,-, В7, С7 определим из условия несмещенности ком­понента Л7 и минимума его дисперсии. Условие несмещенности имеет вид: М Ш = AjX + В7ц + Сді = X. Отсюда получим выражение оценки:

1 п

Л,- = Л,- — С, (Д — ц) при Л,.=-£ Щ..

пМ

Матрицу С і найдем из условия минимума дисперсии оценки:

о,.[л#]=м[(л,.-л,)2}

Вводя обозначения — D/t/j = М ^1,- — X,,- ) (і,- — X,, ) J,

^rs =м[(£,.-Х,)(А-ц)Г]; =М[(А-Ц)(А-Ц)Г],

получаем

D/ = -[°дд _20ЛУСГ + С/0ЛУСГ ]’

откуда искомая матрица С,- определяется как С,- = D^yD^.. Окончательно имеем выражение объединенной оценки:

Aj = — D^D^CA-p).

На практике Бду и D^y неизвестны и определяются статистичес­кой обработкой экспериментальных данных:

пм

Выигрыш в точности объединенной по методу коррелированных процессов оценки рассчитывается по формуле

ri ={l~rRSrSRY >

где коэффициент корреляции rRу = DrsIyDRRDss.

Ограничения при использовании данного метода вытекают из его исходных предпосылок:

• одинаковые внешние условия при исследованиях модели и ре­альной системы, что практически никогда не выполняется вслед-

ствие невозможности учесть на модели весь комплекс реальных возмущений;

• снижение вследствие замены точных значений Dду, Б^их оцен-

А /Ч

ками выигрыша в точности, который может быть

оценен в ряде частных случаев, например при нормальном рас­пределении исследуемых показателей.